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英語勉強法

2021/05/10 /

【数学】相加・相乗平均の関係を正しく使えていますか?

一時期Twitterで話題(?)になっていた「相加平均・相乗平均の関係を用いた最大・最小問題」について, 当ブログでも少し扱ってみたいと思います。

範囲としては高校の数学Ⅱ「式と証明」の内容になりますので, 高校1年生で学習する生徒も多いと思います。

念のため, 「相加・相乗平均の関係」をおさらいしておきましょう。

 

相加・相乗平均の関係

$a \gt 0$, $b \gt 0$ のとき $a+b\geqq 2\sqrt{ab}$     等号は  $a=b$  のとき成り立つ。

 

こういうものでしたね。

教科書には  $\frac{\displaystyle a+b}{\displaystyle 2}\geqq \sqrt{ab}$  と書いてあるはずですが, 実際に問題を解くときには, 上のように両辺に2をかけた形で使うことがほとんどなので, あえてそちらで書いておきました。

さて, ではこれを使って次の問題を考えてみましょう。

 

$x \gt -3$ のとき$$f(x)=x+\frac{4}{x+3}$$の最小値を求めよ。

 

定期試験にもよく出題される問題ですね。

まず, よくある誤答を示します。

 

×間違った答案

$f(x)=x+3+\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle x+3}-3$

 

$x \gt -3$  から  $x+3 \gt 0$  なので, 相加平均・相乗平均の関係より

 

$f(x)=x+3+\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle x+3}-3 \geqq 2\sqrt{({\displaystyle x+3}) \cdot \frac{\displaystyle 4}{\displaystyle x+3}}-3=1$

 

よって,  $\boldsymbol{f(x) \geqq 1}$  なので, $\boldsymbol{f(x)}$ の最小値は1である

 

ここで, 等号が成り立つ条件は

$x+3=\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle x+3}$  かつ  $x \gt -3$

すなわち  $x=-1$

 

したがって  $x=-1$  のとき, 最小値 1  $\cdots$(答)

———————————————答案終わり———————————————

 

計算ミスはどこにもありませんが, この答案は, 太字にした部分が数学の論理として間違っているのです。

たとえば, あるクラスでテストをしたとしましょう。

その結果, 先生から

「クラスの全員が80点以上でした!」

と言われたからといって, クラスの最低点が80点かどうかは分かりませんよね?

仮に全員100点だったとしても「全員が80点以上」というのは正しい表現です。

ですから, 本当に80点ぴったしの人がいることが確認できて初めて, 最低点が80点だと言えるのですね。

 

これと同じことが, 上の問題にも言えます。

$f(x) \geqq 1$  だからといって, $f(x)$  の最小値が1とは限らないのです。

$f(x)=1$  となる$x$が確かに存在することを確認して初めて, 最小値が1と言えるんですね。

ですから, $f(x) \geqq 1$  を示したすぐ後に, 等号成立条件を確認しなければなりません。

私の生徒にもよく言っているのですが

 

相加・相乗の不等式を使ったら直後に等号成立を確認!!!

 

これを忘れないようにしましょう。

正しい答案は次のようになります。

 

〇正しい答案

$f(x)=x+3+\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle x+3}-3$

 

$x \gt -3$  から  $x+3 \gt 0$  なので, 相加平均・相乗平均の関係より

 

$f(x)=x+3+\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle x+3}-3 \geqq 2\sqrt{({\displaystyle x+3}) \cdot \frac{\displaystyle 4}{\displaystyle x+3}}-3=1$

 

ここで, 等号が成り立つ条件は

$x+3=\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle x+3}$  かつ  $x \gt -3$

すなわち  $x=-1$

 

したがって  $x=-1$  のとき, 最小値 1  $\cdots$(答)

———————————————答案終わり———————————————

 

相加平均・相乗平均の関係を使って最大値・最小値を求める問題にはもう少し難しいものもあります。

それについてはまた別の記事で扱おうと思います。

 

 

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